Prije škole dolazio je u praznu dvoranu na Baldekinu i trenirao, a poslijepodnevni trening zadnji je napuštao. Nevjerojatan talent i nesvakidašnja radišnost za tako malog dječaka nije mogla promaći vrhunskim stručnjacima. Već tada prognozirali su mu vrhunsku karijeru zamijetivši kako je već u ranoj dobi sposoban preuzeti svu odgovornost za svoju momčad i ako treba, utakmicu riješiti sam.

Šibenku je 1983. doveo do naslova prvaka Jugoslavije, a dvaput je s njima igrao finale Kupa Radivoja Koraća. Iako su ga htjeli brojni europski klubovi, 1984. godine Dražen se odlučio da će zaigrati za zagrebačku Cibonu. S Cibonom je osvojio državno prvenstvo 1985., 1986. i 1988. godine.

Postavio je nove standarde u igri, čak i van granica bivše države; prvo igrajući u Španjolskoj za Real Madrid, a kasnije i u NBA ligi igrajući za Portland Trail Blazers i New Jersey Nets.

Kroz svoje nepogrešive izvedbe u dresovima Šibenke i Cibone, Dražen je promovirao hrvatsku košarku na internacionalnom planu, te je vrlo brzo postao poznat pod nadimkom košarkaški Mozart. Taj nadimak je dobio zbog toga što je uspio košarku pretvoriti u umjetnost u kojoj je uvijek davao maksimum.

Četiri je puta bio proglašen za najboljeg košarkaša Europe (1986., 1989., 1992. i 1993.). Uvršten je u košarkašku Kuću slavnih 2002. godine.

Poginuo je u prometnoj nesreći , 7. lipnja 1993. godine, na autocesti kod njemačkog grada Ingolstadta, samo dan nakon posljednjeg nastupa u dresu hrvatske košarkaške reprezentacije na kvalifikacijskom turniru za europsko prvenstvo u Wroclawu.